Teoria de Erros - Introdução - eletronica24h

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1. Algarismos Significativos
1.1. Grandeza
Chamamos de grandeza  o ente para o qual vale a operação de medir. São exemplos de grandezas: comprimento, tempo, peso, temperatura, área, volume, velocidade, etc.
Medidas das grandezas
 “Quando se pode medir aquilo de que se está falando e exprimi-los por números, sabe-se algo a respeito; mas quando não é possível exprimi-lo por número, o conhecimento é escasso e de natureza insatisfatória . Pode ser o inicio do conhecimento, mas não faz avançar  senão muito pouco o espírito para o estágio da ciência
                                                                                                                            Lord Kelvin

Medir uma grandeza é compara-la com outra fixa,de mesma espécie e considerada como padrão. Após ser feita a  comparação , obtemos o que chamamos de medida.  Logo:  Medição  Þ ato de medi
Medida  Þ resultado de uma medição.Uma  medida é composta de :  Medida  = (Número)(unidade)
Ex: 0,01mm,   2m,  10g

1.2. Algarismos Significativos
 Vamos admitir  que se está fazendo a medida usando uma régua milimetrada, como abaixo Qual o valor medido ?


Figura 1 - Efetuando uma medida


Qual o valor da leitura ? 4,34cm ? 4,35cm? Ou 4,36cm?
 Das três leituras podemos  notar que os algarismos 4 e 3 não são duvidosos porém o terceiro algarismo é. Para saber  o número de algarismos significativos , contamos  a partir da esquerda para a direita todos os algarismos ( inclusive o duvidoso ), a partir  do primeiro diferente de zero.         
Exemplos:
a)    15,21m  tem 4 AS          , sendo 1 o duvidoso
b)    42.020m tem 5 AS sendo o 0 o duvidoso.
c)       25,2s tem 3 AS sendo 1 o duvidoso
d)       25,20s tem 4AS sendo  0 o duvidoso.
e)       25,200s tem 5AS sendo o o duvidoso
              Observe que  25,2 ; 25,20  e 25,200  não tem o mesmo significado.


1.3. Arredondamento de AS
 Em alguns casos pode ser necessário fazer arredondamentos, eliminando AS. Para fazer arredondamentos usamos a regra :
a)       O último algarismo  conservado não se altera  se o AS eliminado é menor do que 5.  :
Ex:
 2,422 reduzido a 2AS fica 2,4                                        
 25.323 reduzido a 3AS fica 253.102
 25.323 reduzido a  2AS fica  25.103
b)       O último AS conservado é acrescido de uma unidade  se  o AS eliminado for maior ou igual a 5.
Ex:
 43,768 reduzido a 4 AS fica 43,77                                    
45.768 reduzido a 2AS fica 46.103
0,0379 reduzido a  2AS fica  0,038
 1.4. Operações com Algarismos Significativos
a)   Adição
 Para somar parcelas  com AS, devemos inicialmente fazer  o arredondamento de modo que todas as parcelas tenham o mesmo numero de  casas decimais  e igual à da parcela com menos AS.
Ex: Efetuar a soma dos comprimentos
 12,458cm + 3,22cm  + 1,5cm
a ultima parcela é a que tem menos AS logo  12,5cm+3,2cm+1,5cm = 17,2cm
b) Subtração
  O processo é semelhante à soma.
Ex:    25,482cm – 10,5cm = 25,5 – 10,5 = 15,5cm
c)   Multiplicação
O fator que  possuir o menor número de AS é que vai determinar   o número de AS do resultado.
Ex: 4,62m x 9,3m  = 43m2  ( 3ASx2AS =2AS)        
   1432x2,1 = 3007 = 3,0.103(4ASx2AS=2AS)
d) Divisão
      Análogo à multiplicação
Ex: 9,2 / 2,31 = 3,98 = 4,0 ( 2AS / 3AS = 2AS )
“ O resultado de um cálculo não pode ser mais preciso que o termo menos preciso envolvido no cálculo “

1.5. Teoria dos Erros
 Experiência: Todos os alunos de uma sala de aula medem, com uma régua milimetrada,  a maior dimensão de uma  mesma caixa de fósforo , anotando os resultados.Com certeza  nem todas as medidas tem o mesmo valor, apesar do instrumento de medida ser o mesmo e a grandeza também. Mesmo que o mesmo experimentador  repetisse várias vezes  as medições , provavelmente os resultados não coincidiriam. Por que isso acontece ?O instrumento o experimentador ou os processos  de medição não são perfeitos, logo o resultado não será perfeito. O valor verdadeiro ou absoluto somente será obtido com com instrumentos  perfeitos e técnicas perfeitas.
 Concluímos que o  valor real difere do valor  verdadeiro. A esse desvio chamamos de  erro da medida  ou desvio .
1.5.1.  Classificação dos erros
 De uma maneira geral , os erros são classificados em :
a)       Grosseiros
b)       Sistemáticos
c)       Acidentais

a)       Erros grosseiros : São aqueles causados  por falta de atenção ou falta de prática do experimentador.
·         Erros de cálculo;
·         Erros de leitura ( ler 81 ao invés de 31 );
·         Erro de cópia ( transcrever 645 ao inves de 654 );
·         Erros provenientes do manuseio errado do instrumento;
·         Erro de paralaxe.



Para evitar tais erros  deveremos:
Repetir cuidadosamente as medições ( resultados discrepantes devem ser rejeitados )
Adquirir prática com o instrumento medidor.
b)   Erros sistemáticos : são conseqüências  de imperfeições do instrumento, do experimentador e do método usado.
 Instrumento: Deslocamento do zero
 Uso de uma escala em condições diferentes daquela em que foi aferida ( em outra temperatura ).
Experimentador: Atrasar ou adiantar o cronômetro.
 Método empregado: negligenciar a ação da temperatura, pressão.
Para evitar tais erros deveremos:

Aferir  ou calibrar o instrumento antes do uso.
Substituir a observação humana por elementos mecânicos elétricos ( sensores ).
Escolher um método adequado para aquela medida  daquela variável.
c)  Erros Acidentais: São aqueles  provenientes de causas indeterminadas , temporárias, variáveis, imprevisíveis e que modificam de maneira  irregular e variável o resultado das medições.Os erros acidentais são inevitáveis , não são elimináveis nem  completamente corrigíveis .
A teoria dos erros , fundamentada no cálculo de probabilidades trata dos erros acidentais.

1.5.2. Valor mais provável de uma grandeza
Como não podemos obter a medida verdadeira de uma grandeza , iremos procurar qual o seu valor mais provavel.
Postulado de Gauss:
“para uma série de medidas  ( X1,X2,.......XN ) dignas de confiança, o valor mais provável da grandeza,,  é a medidaaritmética simples de todas as  grandezas  medidas, isto é :



1.5.3. Desvio ( d )( resíduo )
Por definição é a diferença  entre cada medida encontrada ( X ) e o valor mais provável da grandeza


Propriedade :
O desvio pode ser positivo ou negativo.
Para uma quantidade de medidas muito grande  a soma dos desvios é nula
Obs: O fato de uma medida ter desvio nulo não significa  que ela é “certa “, apenas que, dentro da precisão do aparelho utilizado, não se pode  perceber  diferenças entre  o valor  provável e o valor obtido.

1.5.4. Desvio médio absoluto   ()

Define-se desvio médio absoluto   () para uma série de  n  medidas como sendo a média aritmética simples  dos módulos  dos  desvios   dessas n medidas.



Obs:
1)       O desvio médio absoluto deve ser  arredondado para um AS.
2)       O valor de        é muito importante, pois, a forma correta de  indicar o resultado de uma medição especifica não somente  o valor mais provável bem como a incerteza com a qual a medida  vem afetada.
3) O desvio médio é expresso nas mesmas unidades e com a mesma precisão da grandeza que se está medindo.
4)   O desvio médio é expresso nas mesmas unidades e com a mesma precisão da grandeza que se está medindo.

O desvio médio absoluto é feito em modulo, pois se levássemos em conta o sinal, alguns positivos se anulariam com alguns negativos, de modo que o desvio médio seria nulo (não teria sentido). Se em todas as medidas  tivermos desvios , como em média o desvio pode ser zero ?

Forma de se indicar corretamente um medida

Valor da medida =

Isto é,  indicamos o valor mais provável da medida () e um intervalo de duvida ( ).

1.5.5.  Erro Relativo ( er )
Define-se erro relativo ( er ) como sendo a relação entre o desvio médio absoluto e o valor mais provável da grandeza.

Obs:  a) É um numero puro  b)  Esse  numero dá uma medida  da qualidade da medida, quanto menor for o erro relativo, melhor foi a medida efetuada.

1.5.6. Erro Relativo Porcentual (er%)

Ë o erro relativo expresso em termos de percentagem.



Exercícios Resolvidos
Um grupo de alunos  realizou uma série de medições de massa  de um corpo, obtendo as seguintes medidas:
M1 =1,45 g    M2 =1,43 g    M3=1,46 g   M4=1,47 g    M5=1,49 g
Obter:
a) O valor mais provável da massa do corpo ()
b) Indicar corretamente o resultado final
c) O erro relativo (er)
d) O erro relativo percentual (er%)
Massa (g)
Desvio(d)(g)
Desvio Absoluto ( )(g)
1,45

1,43

1,46

1,47

1,49

=

=
Exercício Proposto
Um grupo de alunos  realizou experiência para determinar o valor da aceleração da gravidade  local, e obtiveram os valores a seguir:
9,75m/s2; 9,78m/s2;9,80m/s2;9,76m/s2;9,75m/s2
Calcular:
a)       valor mais provável da aceleração da gravidade  .
b)       Indicar corretamente o resultado final .
c)       O erro relativo (er)
d) O erro relativo percentual ( er% )
 
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