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Analise  de   Circuitos em Corrente Alternada
Aula01: Tensão Alternada - Tensão  Senoidal - Circuito Resistivo em CA
Bibliografia
Analise de Circuitos em Corrente  Alternada - Editora  Erica

1   Tensão  Continua
       Como você bem sabe, uma tensão  é chamada  de continua ou constante pois o seu valor não  se altera com o tempo. Exemplo de geradores que geram tensão continua  são as pilhas e as baterias. A Figura 1 mostra o aspecto físico,  símbolo e curva da tensão em função do tempo deste  tipo de gerador.

     ( a )                        ( b )                                        ( c )
Figura 1: Gerador de tensão continua - ( a ) Aspecto físico ( b ) Símbolo e ( c )  gráfico da tensão em função do tempo   

O gráfico da figura 1 mostra o comportamento da tensão  nos terminais da bateria ao longo do tempo: A tensão não muda,  permanece constante.     

2  Tensão  Alternada

   É  uma tensão  cujo valor  e polaridade  se modificam ao  longo do tempo. Conforme o comportamento da  tensão então  temos os diferentes tipos de tensão: Senoidal, quadrada,  triangular, pulsante, etc.
         De todas essas,  a senoidal é a que  tem   um maior  interesse  pois é a tensão que é gerada nas usinas   e que alimenta as industrias e residências. Antes de estudarmos mais a  fundo a tensão senoidal, vamos procurar conceituar melhor  a tensão  alternada. Seja o circuito da Figura 2, no qual temos duas baterias e uma chave   que ora conecta a bateria B1 ao resistor, ora conecta a bateria B2 ao resistor.  Vamos supor que   cada bateria fica conectada ao resistor durante  1s. Como seria o gráfico da tensão em função do  tempo nos terminais da bateria ?


                
Figura 2 -  Gerando uma tensão alternada quadrada -  ( a ) Circuito com V=12V    (  b ) Circuito com V=-12V ( c ) Tensão em função do tempo


Observe  que:                                                                                                                                         
O valor negativo  significa que a polaridade  da tensão  mudou. O tempo que leva para repetir uma mesma situação é  2s, sendo chamado de período (T). O valor máximo da tensão  é 12 V (com qualquer polaridade, sendo chamado de  valor de pico  ou valor máximo VM). A seguir estudaremos mais em detalhes a tensão  senoidal.

A animação  ajuda voce a entender uma tensão quadrada.

                                                             
Figura 3 - Animação mostrando um voltimetro medindo uma tensão quadrada

3  Tensão senoidal
       A tensão mais comum, e mais facil de ser gerada, é a tensão senoidal. É a tensão fornecida para alimentar as industrias e a sua casa.
É uma tensão que varia com o tempo de acordo  com uma lei senoidal, portanto nesse caso temos uma  expressão matemática  para expressar a tensão. A  expressão matemática é:

                                    v(t)=VM.sen(w.t+qo)

ou em função do angulo

                                v(q)=VM.sen(q)     

        Onde  VM (em V), ou Vp,  é o valor de pico (valor maximo que a tensão  pode  ter) e w(ômega) em (rd/s)  é a freqüência angular
q0 em (rd ou graus)  é  o angulo de fase inicial,  q (teta) é   o ângulo  num  determinado instante t.
Observe  que a relação entre ângulo e tempo  é dada por:

 q= q0 + w.t

Esta equação é  análoga à equação que rege o movimento uniforme  de um móvel:

S=  S0+ v.t  onde S0 é o espaço inicial em relação à origem

3.1  Representação gráfica de uma tensão senoidal
        Uma tensão senoidal varia em função  do tempo de acordo com uma lei senoidal, portanto a sua representação  será como na Figura 4a, mas a mesma tensão pode ser representada em  função do angulo, Figura 4b, (não esqueça que   a função seno tem período de 360 graus ou de 2p rd),  sendo a relação entre angulo  e tempo dada por :

                 q=q0 + w.t

onde
qo (teta zero) é o angulo de fase inicial, w é  afrequencia angular (em rd/s) e t é o tempo em s.

A Figura 4  mostra o gráfico  da tensão em função do tempo cuja expressão matematica é:

                                         v(t)=10.sen(w.t)  nesse caso o angulo de fase inicial é zero.




                        
                                  
                                                                   ( a )                                                         ( b )
Figura 4 -  Representação  gráfica de uma  tensão senoidal (a ) em função do tempo    ( b ) em função do angulo

       Na Figura 4a e  Figura 4b,   VPP (em V) é chamado de tensão  de pico a pico,  T  (em s)  é o período (tempo que o fenômeno leva para se repetir).
Pelos gráficos da Figura 4a e Figura 4b  tiramos as seguintes conclusões:

como   q=w.t       se  q =2.p  >>>>>     t=T  logo substituindo   em  q=w.t    resulta:

                                 2.p=w.T   ou       w = 2.p/T   ou       

O numero de ciclos completados segundos chamamos de freqüência  (f). A freqüência está relacionada com o periodo por:
f =1/T (Hz)     logo  pode-se   escrever  que:

w=2 .p.f
Por exemplo se f=60 Hz       w=2 .p.60=377 rd/s             Para lembrar

Expressão muito importante que mostra a relação entre frequencia angular dada em rd/s   e frequencia dada em Hz ou ciclo

Em relação à tensão mostrada na Figura 4: Vp=10V     Vpp=20V    T=2ms     a frequencia     f=1/T=1/2ms= 500 Hz      w=2 .p.500= 1000.p=3.140 rd/s   



3.2  Tensão eficaz

       Para uma senoidal  definimos o seu valor eficaz  (VRMS ou VEF) como sendo igual ao valor de uma tensão contínua que  produzirá  a mesma dissipação de potência  que a tensão  alternada em questão. No caso de uma tensão senoidal o seu valor  eficaz é calculado por:

 
Definição matemática:

                            

Para o caso particular de uma tensão senoidal  o valor é dado por:

                              

Obs:
  • considerar    raiz de 2 como sendo aproximadamente igual 1,41 para efeitos de calculos;
  • RMS= Root Mean Square = valor quadrático médio.

Para exemplificar. Se uma tensão senoidal de 110V (eficaz) for aplicada a uma resistencia de 11 Ohms, a dissipação de potencia , portanto o calor gerado, será o mesmo que se uma tensão CC de 110V fosse aplicada a mesma resistencia . Esse é o significador de valor eficaz.


                                      
Figura 5 - ( a ) Tensão senoidal de valor eficaz 110 V (155 V de pico)    aplicada  a um resistor de 11 Ohms; ( b )  Tensão continua de valor igual ao valor eficaz da tensão senoidal  aplicada a um resistor de 11 Ohms   


Para  a   tensão senoidal  representada  na Figura 5 os seus parâmetros são: VP=VM=110. 1,41155 V        VPP  =310 V  
 VRMS =155/1,41=
110 V

T=0,01666s=16,66 ms     portanto              f= 1/0,0166 =  60 ciclos/s = 60 Hz    
           
w=2.p.60=377 rd/s          qo=0

Um resistor de 11 Ohms ao ser  conectado a essa  tensão senoidal, dissipará  a mesma potência se for   conectado a uma tensão CC de 110 V

Outro exemplo para voce entender valor eficaz.
O chuveiro da sua casa é ligado a uma tensão alternada de 220V eficazes, que corresponde a uma tensão de pico de aproximadamente 311V.  Se voce dispuser de uma bateria de 220V (CC) com capacidade de corrente suficiente, pode ligar o chuveiro que o aquecimento será o mesmo.


                                                                                                                                                                 




Exercício Resolvido 1  
Exercício1:Representar as seguintes  tensões senoidais  no grafico em função do tempo  Qual  a frequencia  e a frequencia angular em cada caso? Qual o valor eficaz em cada caso?
   v1(t) =  15.sen(2.p.103.t ) ( V ).
  v2(t) =  20.sen(2.p.103.t  +  p/2 )( V ).  

Arquivo Multisim Live


Solução:
Da  expressão de v1 obtemos que    w=2.p.103 rd/s  e portanto

 f1=1000 Hz=1 kHz, e  T1=1ms=0,001 s.

O  valor de pico desta tensão, V1,  é VM =15 V, angulo de fase inicial    qo=
O seu valor eficaz
VRMS1 =15/1,41=10,6 V

Da mesma forma para  v2:  w=2.p.103 rd/s  e portanto

f2=1000 Hz=1  kHz, e                  T2=1 ms=0,001 s

o  valor de pico desta tensão é 20 V,  angulo de fase inicial      qo=90º=p/2.

O valor eficaz VRMS2 =20/1,41=14,2V

A seguir  os gráficosdas duas tensões





Exercício Resolvido 2: Representar as seguintes  tensões senoidais.
V1(t)=5.sen(104p.t + 90o)(V)     e     V2(t)= 5.sen(104p.t - 90o)(V)     

Arquivo multisim Live

Os dois sinais tem a mesma frequência angular ω= 104.p rd/s   
E como ω= 104.p rd/s   então    f= 104p/2.p =5000 Hz=5 kHz

O valor eficaz das duas tensões é o mesmo VRMS1 =5/1,41=3,54 V = VRMS2
O ângulo de fase inicial da tensão V1 é    qo=90o     e  da tensão V2 é     qo= - 90o



Exercício Resolvido 3:
Representar as seguintes  tensões senoidais  
V1(t)=155.sen(120.p.t - 450)(V)     e     V2(t)= 155.sen(120.p.t)(V)     

Arquivo Multisim Live

Solução:
 O valor de pico das duas tensões é o mesmo Vp1=Vp2=155 V   e  da mesma forma o valor eficaz  VRMS1=VRMS2=155V/ 1,41=110V

O angulo de fase inicial da tensão V1 é                    qo=-450      
O angulo de  fase inicial da tensão V2 é zero,            qo=0

A seguir  o Diagrama Fasorial e os  gráficos da tensão em função do tempo,  sendo que o gráfico  em violeta  representa V1 e V2 em preto



  
Figura 6 - Diagrama fasorial e tensões do exercicio 3

3.3  Diagrama Fasorial  

    O Diagrama Fasorial (D.F) é outra forma  de representar  uma tensão senoidal. O D.F é representado por um fasor (vetor girante) que gira com frequencia angular  w no sentido anti horario. O fasor representativo da tensão é indicado sempre no instante t=o.
     A Figura 7 mostra como é  construído o diagrama fasorial. Cada vetor (neste caso chamado de fasor), representa  a tensão num determinado instante. Observe que o ângulo que o fasor  faz  com o eixo horizontal representa o ângulo da tensão naquele instante.
No exemplo da figura 7b a tensão representada tem  a expressão:  v(t)=10.sen(w.t) (V)

                                                                          ( a )                                                                                      ( b )
Figura 7 - ( a ) Diagrama fasorial    ( b ) Forma de onda correspondente

O diagrama  da Figura 7a   representa a tensão da Figura 7b que  no instante t=0 vale zero  e portanto a expressão da tensão em função do tempo  é:
v(t) =VM.sen(w.t)     pois qo    (angulo de inicial) vale zero. Caso  a tensão  tivesse um angulo inicial,  a expressão seria dada por:
v(t) =VM.sen(w.t+qo)  se a tensão estiver  adiantada    ou   
v(t)  =VM.sen(w.t  - qo) se atrasada.

A animação a seguir ajudará voce a entender o Diagrama Fasorial





3.4 Angulo de fase inicial

Como visto, uma tensão pode ser representada matematicamente por:
v(t)=10.sen(w.t + q0 )  onde q0  é o angulo de fase inicial .

Se no instante t=0 a tensão for zero o sinal parte da origem. Se no instante t=0 o valor da tensão for positiva dizemos que o sinal esta adiantado em relação a origem e se no instante t=0 a tensão for negativa o sinal esta atrasado.

SINAL ADIANTADO   (Em relação a origem de angulo)

Um sinal (tensão ou corrente) está adiantado em relação a  origem, se já passou pela origem, Fgura 8. Não esqueça a orientação de angulo é no sentido anti horario.
Ex:   v(t)=10.sen(w.t + 900)                  O valor de pico é 10 V e o  angulo de fase inicial (teta zero)=900


Figura 8 - Diagrama fasorial e forma de onda da tensão  v(t)=10.sen(w.t + 90º)(V) - sinal adiantado


SINAL ATRASADO (Em relação a origem de angulo)  - SINAL NA ORIGEM

Um sinal (tensão ou corrente) está atrasado em relação a  origem, se ainda vai passar pela origem, Fgura 9a.
 Ex:    v(t)=10.sen(w.t - 900 )     angulo de fase inicial= - 900   ou  2700  
Quando um sinal (tensão ou corrente) está na   origem, dizemos que o angulo de fase inicial é zero, Fgura 9b.
Ex:    
v(t)=10.sen(w.t )(V)

        
                                                ( a )                                                                                                                                       ( b )          


Figura 9 - ( a )  Diagrama fasorial e forma de onda da tensão  v(t)=10.sen(w.t - 9)(V)   ( b )    Diagrama fasorial e forma de onda da tensão  v(t)=10.sen(w.t)(V)  

3.5 Representação na forma complexa

    Sabemos que um numero complexo tem modulo e fase, e como uma tensão tambem tem modulo e fase então uma tensão alternada senoidal tambem pode ser representada na forma complexa, isto é:

Forma Trigonometrica:
Exemplo1:  Seja a atensão V(t)=100.sen(ω.t + 600)(V)     O valor de pico é 100 V e  o ângulo de fase inicial   é    qo=600     

Formas Complexas:
Como uma tensão (corrente) tem modulo e fase, podem ser representadas nas formas complexas cartesiana e polar.

Forma polar

                                    
Forma Cartesiana
V=VM.cos q0 + jVMsen qo = 50 + j86,66 (Vpico)

Exemplo2:   Seja a tensão V(t)=12.sen(w.t+600)(V)   

Forma cartesiana:   V=12.cos60  +   12.sen60  =  6 +j10,39 (V)   
  
Forma polar:
                        


A analise de circuitos em CA pode ser feita usando o Diagrama Fasorial ou usando as fomas complexas. Em circuitos simples podem ser usadas as duas formas, mas em circuitos com muitos componentes a forma complexa é mais adequada.

4  Experiencia: Tensão   alternada - Osciloscopio
4.1 O osciloscopio (O) é o instrumento que permite ver uma tensão alternada, nesta experiencia voce aprenderá a medir os valores de de tensão e tempo usando o osciloscopio. As tensões alternadas  são obtidas no gerador de funções (GF). Ambos são obtidos na barra de instrumentos à direita (Multisim).
4.2  Abra o arquivo  ExpCA01_tensão_alternada_osciloscopio_GF     e  nnicie a simulação. Abra o osciloscopio e veja as formas de onda senoidal, triangular e quadrada (para ver esta voce deve colocar a chave na outra posição).



Figura 10 - O gerador de Funções e o Osciloscopio

Clique aqui para acessar o arquivo Multisim Live  - Como obter tensão senoidal, tensão quadrada e tensão triangular




4.3. Para medir o valor de pico a pico, Vpp, com o osciloscopio,  conte o numeros de divisões que o sinal ocupa na vertical e faça a conta. Vpp= Numero divisõesxVolts/Div.
Obs: Se voce estiver usando Multisim Live, use os dois cursores. Em Cursors>>Type Selecione  YAxis. Aparecerão dois cursores na horizontal, C2 e C1. Escolha qual tensão deseja medir, por exemploV1.Posicione C2 no pico superior e C1 no pico inferior. Embaixo em DY será mostrado o valor de pico a pico. Eventual erro será por conta do posicionamento.

4.4. Para medir o valor do periodo, T, conte o numeros de divisões que o sinal ocupa na horzontal e faça a conta. Vpp= Numero divisõesxTime/Div.
4.5  Anote o valor de pico a pico, o valor eficaz  de cada uma das 3 tensões (senoidal, triangular e quadrada).

Senoidal: Vpp=____________       VRMS=__________________     Periodo=_______________

Triangular: Vpp=____________       VRMS=__________________     Periodo=_______________

Quadrada:  Vpp=____________       VRMS=__________________     Periodo=_______________

4.6. Experiemente mudar amplitude/frequencia.
4.7. Escreva as suas conclusões.

5. Experiencia: Angulo de fase inicial  de uma tensão senoidal - Defasagem
5.1. Abra  o arquivo  ExpCA02_Angulo de fase inicial e defasagem e identifique o circuito da Figura 11.
5.2. 1. Inicie a simulação em seguida abra o osciloscopio. Observe as duas formas de onda.


      
                                   ( a )                                                                                                 ( b )
Figura 11 - Medindo a defasagem entre duas tensões ( a ) circuito    ( b ) formas de onda

Clique para acessar o arquivo Multisim Live



5.3. Meça a defasagem no tempo usando os dois cursores do osciloscopio.
5.4. Usando proporcionalidade determine a defasagem em graus. Não esqueça que os sinais tem f=1 kHz  T=1ms.
5.5. Compare com a defasagem especificada nos geradores.
5.6. Exprimente mudar o angulo de fase inicial das tensões para outros valores e depois repitaos itens anteriores.
5.7. Escreva as suas conclusões.


6 Somando tensões senoidais
A soma de tensões (ou correntes) segue a mesma regra para soma de numeros complexos. Consideremos um exemplo.

Exercicio Resolvido 4:
Sejam as tensões
  v1(t) =  15.sen(2000.p.t ) ( V )  e  v2(t) =  20.sen(2000.p.t  + p/2 )( V ).                    Obter v3(t)=v1(t)+v2(t)
Solução:

Voce pode resolver graficamente representando as duas tensões  no mesmo Diagrama Fasorial e efetuar a soma vetorial, Figura 12.


Figura 12 - Diagrama Fasorial de duas tensões senoidais

O modulo de v3 é calculado por:



                                                
Onde o angulo de fase inicial pode ser calculado por:



Poderia representar as duas tensões na forma cartesiana:  V1=15+j0 (Vpk)       V2=0 +j20(Vpk)    e somar as duas obtendo V3=15+j20(Vpk) e esse numero complexo que representa a tensão soma tem modulo igual a 25Vpk e fase inicial = 53,13 graus, isto é

v3(t)=25.sen(2000.p.t+53,13)(V)


7  Experiencia: Soma de tensões senoidais
7.1  Abra o arquivo ExpCA03_Somando_duas_tensões_senoidais e identifique a Figura 13. Nesse circuito as duas tensões senoidais v1(t) e v2(t) são somadas para obter v3(t), isto é:

v3(t)=V1(t)+v2(t)      onde v1(t)=20.sen(w.t+90)(V)       e v2(t)=14.sen(w.t)(V)



Figura 13 - Somando duas tensões senoidais


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7.2  Meça o valor de ´pico e o valor da tensão   no instante t=0 da tensão soma, isto é v3(t). Com esses dois valores determine o angulo de fase inicial.

Vpk=__________    qo=________

v3(t)= Vpk.sen(w.t+qo)     para t=0   v3(0)=Vpk.sen(qo)   logo    qo=arcsen(v3(0))/Vpk)

7.3. Experimente considerar outros valores de amplitude e angulos

7.4. Escreva as suas conclusões.     

8 Exercicios Propostos

8.1  Para os sinais pedem-se determinar:
a) Freqüência angular
b) freqüência
c) Periodo  d) Ângulo de fase inicial e) Representar graficamente  
f) Indicar o valor da tensão para t=0

                  v1(t)=10.sen(20.000. π.t + π/3) (V)               V2  (t)=15.sen(8.000. π.t – 300) (V)

8.2   Desenhar  o Diagrama Fasorial dos sinais

                  v1(t)=10.sen(w.t + 60) (V)       v2(t)=15.sen(w.t - 30) (V)

8.3  Para os sinais pedem-se determinar:
   v1(t)=10sen(w.t+π/3) (V)      v2(t)=15.sen(w.t  - π/6 ) (V)

a) Defasagem
b) Obter V3=v1+V2
c) representar v1 e v2 no D.F
c) Dar a expressão de V3(t)
d) Representar V3 na forma polar e cartesiana


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