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Analise  de   Circuitos em Corrente Alternada
Aula01: Tensão Alternada - Tensão  Senoidal - Circuito Resistivo em CA
Bibliografia
Analise de Circuitos em Corrente  Alternada - Editora  Erica

1.  Tensão  Continua
       Como você bem sabe, uma tensão  é chamada  de continua ou constante pois o seu valor não  se altera com o tempo. Exemplo de geradores que geram tensão continua  são as pilhas e as baterias. A Figura 1 mostra o aspecto físico,  símbolo e curva da tensão em função do tempo deste  tipo de gerador.

      ( a )                        ( b )                                        ( c )
Figura 1: Gerador de tensão continua - ( a ) Aspecto físico ( b ) Símbolo e ( c )  gráfico da tensão em função do tempo   

O gráfico da figura 1 mostra o comportamento da tensão  nos terminais da bateria ao longo do tempo: A tensão não muda,  permanece constante.     

2. Tensão  Alternada
   É  uma tensão  cujo valor  e polaridade  se modificam ao  longo do tempo. Conforme o comportamento da  tensão então  temos os diferentes tipos de tensão: Senoidal, quadrada,  triangular, pulsante, etc.
         De todas essas,  a senoidal é a que  tem   um maior  interesse  pois é a tensão que é gerada nas usinas   e que alimenta as industrias e residências. Antes de estudarmos mais a  fundo a tensão senoidal, vamos procurar conceituar melhor  a tensão  alternada. Seja o circuito da Figura 2, no qual temos duas baterias e uma chave   que ora conecta a bateria B1 ao resistor, ora conecta a bateria B2 ao resistor.  Vamos supor que   cada bateria fica conectada ao resistor durante  1s. Como seria o gráfico da tensão em função do  tempo nos terminais da bateria ?


                     ( a )                                                                      ( b )
Figura 2 -  Gerando uma tensão alternada quadrada -  ( a ) Circuito com V=12V    (  b )
Circuito com V=-12V ( c ) Tensão em função do tempo


Observe  que:                                                                                                                                         
O valor negativo  significa que a polaridade  da tensão  mudou. O tempo que leva para repetir uma mesma situação é  2s, sendo chamado de período (T). O valor máximo da tensão  é 12 V (com qualquer polaridade, sendo chamado de  valor de pico  ou valor máximo VM). A seguir estudaremos mais em detalhes a tensão  senoidal.

A seguir,  animação que ajudam voce a entender uma tensão quadrada.

                          

3.  Tensão senoidal
        É uma tensão que varia com o tempo de acordo  com uma lei senoidal, portanto nesse caso temos uma  expressão matemática  para expressar a tensão. A  expressão matemática é:



ou em função do angulo



        Onde  VM (em V)  é o valor de pico (valor maximo que a tensão  pode  ter) e   (ômega) em (rd/s)  é a freqüência angular
q0 em (rd ou graus)  é  o angulo de fase inicial,    é   o ângulo  num  determinado instante t.
Observe  que a relação entre ângulo e tempo  é dada por:

 = 0 + .t
Esta equação é  análoga à equação que rege o movimento uniforme  de um móvel:
S=  S0+ v.t

A  Figura 3   mostra a sua representação  gráfica em  função do tempo e a   Figura 4  o gráfico  em função do angulo.

3.1. Representação gráfica de uma tensão senoidal
         Uma tensão senoidal varia em função  do tempo de acordo com uma lei senoidal, portanto a sua representação  será como na Figura 3, mas a mesma tensão pode ser representada em  função do angulo, Figura 4, (não esqueça que   a função seno tem período de 360 graus ou de 2p rd),  sendo a relação entre angulo  e tempo dada por :

                  =0 +.t
A figura a seguir mostra o gráfico  da tensão em função do tempo.  
v(t)=10.sen(.t)


Figura 4 -  Representação  gráfica de uma  tensão senoidal em função do angulo

       Na Figura 3 e  Figura 4,   VPP (em V) é chamado de tensão  de pico a pico,  T  (em s)  é o período (tempo que o fenômeno leva para se repetir).
Pelos gráficos da Figura 3 e Figura 4  tiramos as seguintes conclusões:

como   =.t       se  =2. p

 2..p=.T   ou        = 2. p/T

O numero de ciclos completados segundos chamamos de freqüência  (f). A freqüência está relacionada com o periodo por:
f =1/T (Hz)     logo  podemos também  escrever  que:

=2 .p.f

3.2. Tensão eficaz
       Para uma senoidal  definimos o seu valor eficaz  (VRMS ou VEF) como sendo igual ao valor de uma tensão contínua que  produzirá  a mesma dissipação de potência  que a tensão  alternada em questão. No caso de uma tensão senoidal o seu valor  eficaz é calculado por:

 
Definição matemática:



Para o caso particular de uma tensão senoidal  o valor é dado por:



Obs:
  • considerar    raiz de 2 como sendo aproximadamente igual 1,41 para efeitos de calculos;
  • RMS= Root Mean Square = valor quadrático médio.

Por exemplo uma tensão  senoidal de  155 V de pico  é aplicada a uma resistência de 100 Ohms. Se ao mesmo resistor  for aplicado uma tensão de 110 V contínuos, a dissipação  de potência será a mesma.


                                  ( a )                                                                                         ( b )
     
                                                ( c )                                                                                                          ( d )
Figura 5 - ( a ) Tensão senoidal de valor eficaz 110 V (155 V de pico)    aplicada  a um resistor de 11 Ohms; ( b )  Tensão continua de valor igual ao valor eficaz da tensão senoidal  aplicada a um resistor de 11 Ohms   



Para  a   tensão senoidal  representada  na Figura 5 os seus parâmetros são: VP=VM=155 V        VPP  =310 V  
 VRMS =155/1,41=110 V
T=0,01666s=16,66 ms     portanto              f= 1/0,0166 =  60 ciclos/s = 60 Hz                 
w=2..p60=377 rd/s           0 =0
Um resistor de 11 Ohms ao ser  conectado a essa  tensão senoidal, dissipará  a mesma potência se for   conectado a uma tensão CC de 110 V
                                                                                                                                                                 
Exercício1:  
Exercício1:Representar as seguintes  tensões senoidais  no grafico em função do tempo  
   v1(t) =  15.sen(2.pi.103.t ) ( V ).
  v2(t) =  20.sen(2.pi.103.t  + pi/2 )( V ).  
Solução:
Da  expressão de v1 obtemos que w=2.pi.103 rd/s  e portanto
 f1=1000 Hz=1 kHz, e  T1=1ms=0,001 s.
O  valor de pico desta tensão é VM =15 V, angulo de fase inicial   0=
VRMS1 =15/1,41=10,6 V
            Para v2 temos que  w=2.pi.103 rd/s  e portanto

f2=1000 Hz=1  kHz, e   T2=1 ms=0,001 s
o  valor de pico desta tensão é 20V,  angulo de fase inicial 0=90º=pi/2.
VRMS2 =20/1,41=14,2V
A seguir  os gráficos, sendo que o gráfico  em violeta representa V2.

Exercício2: Representar as seguintes  tensões senoidais




Solução:
Da  expressão de v1 obtemos que  =.104 rd/s  e portanto f1=5000 Hz=5 kHz, e T1=0,2 ms=200 ms .
O  valor de pico desta tensão é VM =5 V, angulo de fase inicial   0=90º=/2.
VRMS1 =5/1,41=3,54 V

Para v2 temos que  =2..103 rd/s  e portanto f2=1000 Hz=1 kHz , e  T2=1 ms=0,001 s  
o  valor de pico desta tensão é 20V,  angulo de fase inicial 0=90º=p/2..
VRMS1 =5/1,41=3,54 V
A seguir  os gráficos, sendo que o gráfico  em violeta representa V2.
Obs:    -  /2  =  3 /2  (  -90º = 270º)                                                                                       
Observe  que as duas tensões estão   defasadas entre si de 180º.

Exercício3:
Representar as seguintes  tensões senoidais  



Solução:
Tensão  v1:  VM  =155 V          1=120. rd/s           f1=1/2. = 60 Hz  logo
T1=1/f1 =1/60=16,66 ms,   angulo de fase inicial       0= -45º= -/4
VRMS1 =155/1,41=110 V
Tensão v2:    VM =155 V,     2=120.   rd/s          f2=2/2.= 60 Hz  logo
T2=1/f2 =1/60=16,66 ms  ,    angulo de fase inicial 0=0º.
VRMS2 =155/1,41=110 V

A seguir  os gráficos, sendo que o gráfico  em violeta  representa V1 e V2 preta

Figura 6 - Diagrama fasorial e tensões do exercicio 3


3.3.  Diagrama Fasorial  
     É uma outra forma  de representar  uma tensão senoidal. A Figura 7 mostra como é  construído o diagrama fasorial. Cada vetor (neste caso chamado de fasor), representa  a tensão num determinado instante. Observe que o ângulo que o fasor  faz  com o eixo horizontal representa o ângulo da tensão naquele instante.
No exemplo da figura 7b a tensão representada tem  a expressão:  v(t)=10.sen(.t) (V)


                    ( a )                                                       ( b )
Figura 7 - ( a ) Diagrama fasorial    ( b ) Forma de onda correspondente

O diagrama  da Figura 7a   representa a tensão da Figura 7b que  no instante t=0 vale zero  e portanto a expressão da tensão em função do tempo  é:
v(t) =VM.sen(w.t)     pois    (angulo de inicial) vale zero. Caso  a tensão  tivesse um angulo inicial,  a expressão seria dada por:
v(t) =VM.sen(w.t+)  se a tensão estiver  adiantada    ou   
v(t)  =VM.sen(w.t  - ) se atrasada.

A animação a seguir ajudará voce a entender o Diagrama Fasorial


SINAL ADIANTADO  

Ex:               v(t)=10.sen(w.t + )                   =900

Figura 8 - Diagrama fasorial e forma de onda da tensão  v(t)=10.sen(w.t + 90º)(V)


SINAL ATRASADO     Ex:                v(t)=10.sen(w.t  + )     = - 900   ou  = 2700  

Figura 9 - Diagrama fasorial e forma de onda da tensão  v(t)=10.sen(w.t - 9)(V)

3.4. Representação na forma complexa
    Sabemos que um numero complexo tem modulo e fase, e como uma tensão tambem tem modulo e fase então uma tensão alternada senoidal tambem pode ser representada na forma complexa, isto é:

Forma Trigonometrica:


Formas Complexas:
Forma polar

Forma Cartesiana

V=VM.cos q0 + jVMsen

 Exemplo: V(t)=12.sen(.t+600)(V)   
Forma cartesiana:   V=12.cos60  +   12.sen60  =  6 +j10,39 (V)   
  
Forma polar:


A analise de circuitos em CA pode ser feita usando o Diagrama fasorial ou usando as fomas complexas. Em circuitos simples podem ser usadas as duas formas, mas em circuitos com muitos componentes a forma complexa é mais adequada.

4. Experiencia: Tensão   alternada - Osciloscopio
4.1. O osciloscopio (O) é o instrumento que permite ver uma tensão alternada, nesta experiencia voce aprenderá a medir os valores de de tensão e tempo usando o osciloscopio. As tensões alternadas  são obtidas no gerador de funções (GF). Ambos são obtidos na barra de instrumentos à direita (Multisim).
4.2. Abra o arquivo  ExpCA01_tensão_alternada_osciloscopio_GF     e  nnicie a simulação. Abra o osciloscopio e veja as formas de onda senoidal, triangular e quadrada (para ver esta voce deve colocar a chave na outra posição).

Figura 10 - O gerador de Funções e o Osciloscopio

4.3. Para medir o valor de pico a pico, Vpp, conte o numeros de divisões que o sinal ocupa na vertical e faça a conta. Vpp= Numero divisõesxVolts/Div.
4.4. Para medir o valor do periodo, T, conte o numeros de divisões que o sinal ocupa na horzontal e faça a conta. Vpp= Numero divisõesxTime/Div.
4.5. Anote o valor de pico a pico, o valor eficaz  de cada uma das 3 tensões (senoidal, triangular e quadrada).

Senoidal: Vpp=____________       VRMS=__________________     Periodo=_______________

Triangular: Vpp=____________       VRMS=__________________     Periodo=_______________

Quadrada:  Vpp=____________       VRMS=__________________     Periodo=_______________

4.6. Experiemente mudar amplitude/frequencia.
4.7. Escreva as suas conclusões.

5. Experiencia: Angulo de fase inicial  de uma tensão senoidal - Defasagem
5.1. Abra  o arquivo  ExpCA02_Angulo de fase inicial e defasagem e identifique o circuito da Figura 11.
5.2. 1. Inicie a simulação em seguida abra o osciloscopio. Observe as duas formas de onda.
      
                                   ( a )                                                                                                 ( b )
Figura 11 - Medindo a defasagem entre duas tensões ( a ) circuito    ( b ) formas de onda

5.3. Meça a defasagem no tempo usando os dois cursores do osciloscopio.
5.4. Usando proporcionalidade determine a defasagem em graus. Não esqueça que os sinais tem f=1 kHz  T=1ms.
5.5. Compare com a defasagem especificada nos geradores.
5.6. Exprimente mudar o angulo de fase inicial das tensões para outros valores e depois repitaos itens anteriores.
5.7. Escreva as suas conclusões.


6. Somando tensões senoidais
A soma de tensões (ou correntes) segue a mesma regra para soma de numeros complexos. Consideremos um exemplo.

Exercicio4:
Sejam as tensões
  v1(t) =  15.sen(2000..t ) ( V )  e  v2(t) =  20.sen(2000..t  + /2 )( V ). Obter v3(t)=v1(t)+v2(t)
Solução:
Voce pode resolver graficamente representando os dois no mesmo Diagrama Fasorial e efetuar a soma vetorial, Figura 12.


Figura 12 - Diagrama Fasorial de duas tensões senoidais

O modulo de v3 é calculado por:


Onde o angulo de fase inicial pode ser calculado por:


Poderia representar as duas tensões na forma cartesiana:  V1=15+j0 (Vpk)       V2=0 +j20(Vpk)    e somar as duas obtendo V3=15+j20(Vpk) e esse numero complexo que representa a tensão soma tem modulo igual a 25Vpk e fase inicial = 53,13 graus, isto é

v3(t)25.sen(2000..t+53,13)(V)


7. Experiencia: Soma de tensões senoidais
7.1. Abra o arquivo ExpCA03_Somando_duas_tensões_senoidais e identifique a Figura 13.

Figura 13 - Somando duas tensões senoidais

7.2. Meça o valor de ´pico e o valor da tensão no instante t=0. Com esses dois valores determine o angulo de fase inicial.

Vpk=__________    =________

v3(t)= Vpk.sen(.t+)     para t=0   v3(0)=Vpk.sen()   logo    =arcsen(v3(0))/Vpk

7.3. Experimente considerar outros valores de amplitude e angulos

7.4. Escreva as suas conclusões.

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