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Analise de Circuitos em Corrente Alternada
Aula  09: Filtros
Bibliografia
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Saraiva/Erica

1. Introdução
   O decibel (dB) é uma unidade logarítmica  usada para relacionar duas grandezas (potencia elétrica, potencia sonora, tensão, corrente, etc). Em eletrônica as grandezas relacionadas constumam ser tensão, corrente e potencia. A Figura 1 mostra um quadripolo (dispositivo ou sistema com 4 terminais)   generico para o qual a variavel de entrada é tensão, Ve, e a variavel de saida é tensão, Vs. A relação entre a tensão de saida e a  tensão deentrada determina o ganho de tensão.

Figura 1 - Quadripolo

1.1. Ganho de tensão do quadripolo
      Define-se o ganho de tensão de um quadripolo como sendo  a relação entre a tensão de saida, Vs,  e a  tensão de entrada, Ve. Como são grandezas complexas, o ganho Av tambem será uma grnadeza complexa (modulo e fase).




 
Ex: Ve=1 V   e Vs= 10 V    logo o ganho de tensão vale:  Av=Vs/Ve  = 10 V/1 V = 10, Av=10 significa que a saida é 10 vezes maior do que a entrada, então se para o mesmo circuito Ve=0,2 V então a saida será igual a Vs=10.0,2 V = 2 V (existem limites para essa relação ser verdade, mas isso não será estudado nessa aula), e o ganho tambem depende da frequencia  de Ve.

O ganho tambem pode ser especificado de outra forma, em decibeis (dB) existindo uma razão para isso. Em dB o ganho é dado por:



No exemplo,

Exemplo: Determinar o ganho (Vs/Ve) e em dB do circuito.

Figura 2 - Quadripolo com Ve=0,02 V e Vs=4 V

Para o quadripolo da Figura 2 o ganho  de tensão valerá:



ou em decibeis (dB):



Então observe que  Av(dB) > 0 haverá amplificação

Considere o quadripolo da Figura 3, onde Ve=10 V e Vs=0,2 V


Figura 3 - Quadripolo com Ve=10 V e Vs=0,2 V

O ganho de tensão vale:



O ganho de tensão em dB vale:



Se Av(dB) <  0  haverá atenuação

Se Ve=Vs, Figura 4, nesse caso  o ganho de tensão vale AV=Vs/Ve=1  (saida igual a entrada) e o ganho em dB será AV(dB)20.log(Vs/Ve)=0 dB


Figura 4 - Quadripolo com ganho igual a 1


2. Filtros passivos
    São filtros construidos com resistores, capacitores e indutores. Para esses filtros a saida nunca será maior que a entrada, portanto o ganho será sempre menor ou igual a 1. Para obter uma saida maior que a entrada devem ser usados filtros ativos  que alem disso  tem uma seletividade muito grande. São construidos com amplificadores operacionais, estudados em outro curso.

Os filtros podem ser classificados em

2.1. Filtro Passa Altas (FPA)
     A Figura 5a mostra o quadripolo que é um FPA (Filtro Passa  Altas), e a Figura 5b mostra o grafico do Ganho em função da frequencia (Avxf) para um filtro ideal (em preto) e filtro real (em vermelho). No grafico existe uma frequencia caracteristica do circuito chamada de frequencia de corte, fc. Na frequencia de corte o ganho de tensão tem uma valor particular, Av=0,707.

                                     ( a )                                                                      ( b )
Figura 5 - ( a ) quadripolo que representa um FPA ( b ) curvas de resposta e frequencia do FPA, ideal e real

O que significa o grafico ideal da Figura 5b? Que se f < fci      Vs=0,  para f>=fci    Vs=Ve (caso Ideal). Na pratica existe uma saida  se f<fc. Quanto menor for f em relação a fc, menor será a saida.

 
2.2. Filtro Passa Baixas (FPB)
    A Figura 6a mostra o quadripolo que é um FPB, e a Figura 6b mostra o grafico do ganho em função da frequencia (Avxf) para um filtro ideal (em preto) e filtro real (em vermelho). No grafico existe uma frequencia caracteristica do circuito chamada de frequencia de corte, fc. Na frequencia de corte o ganho de tensão tem uma valor particular, Av=0,707.

               
                                ( a )                                                                     ( b )
Figura 6 - ( a ) quadripolo que representa um FPB ( b ) curvas de resposta e frequencia do FPB, ideal e real

O que significa o grafico ideal da Figura 5b? Que se f > fci   Vs=0, para f<=fci    Vs=Ve (caso Ideal). Na pratica existe uma saida  se f>fc. Quanto maior for f em relação a fc, menor será a saida.

2.3. Filtro Passa Faixa (FPF) e Filtro Rejeita Faixa (FRF)
     Esses filtros não serão estudados nesse curso, as suas curvas estão mostradas na Figura 7a, FPF e Figura b, FRF.

                         ( a )                                                                             ( b )
Figura 7 - ( a ) Filtro Passa Faixa   ( b ) Filtro Rejeita Faixa

3. Filtro Passa Altas - Construção
     O FPA pode ser obtido com um circuito RL ou circuito RC serie (caso mais comum). Para saber como construir  com RL serie consultar o livro Analise de Circuitos em CA. A Figura 8 mostra um circuito RC serie onde a tensão de saida é obtida  no resistor, Vs=VR. A relação entre Vs e VR,  Vs/VR determina o ganho que é um numero complexo com modulo e fase.


                        ( a )                                                                                      ( b )
Figura 8 - ( a ) Filtro Passa Altas (FPA)    ( b ) curva de resposta em frequencias

Qual o significado do gráfico da Figura 8b? Para frequencias  muito acima da frequencia de corte, fc,  o ganho é 1 (0dB), isto é,  a saida será igual à entrada (ganho=1 ou 0dB).
Para freqüências muito abaixo da de corte o ganho diminui. Por exemplo, se f=fc/10 o ganho é 0,1 ou -20 dB. toda vez que a freqüência  diminui de 10 vezes  (variação de uma década), o ganho varia de 10 vezes. Por exemplo se a frequencia varia de fc/10 para fc/100 (1 decada de variação), o ganho diminui de 10 vezes, passa de -20dB para -40db. Dizemos que a inclinação da curva na parte reta é de -20dB/decada ou -6dB/oitava. Essa inclinação é sempre -20dB/decada para filtros passivos. Para filtros ativos pode-se obter até -80dB/decada o que significa uma grande seletividade.

3.1. Modulo do ganho e fase do ganho
    O ganho (Vs/Ve) é um numero complexo cujo modulo é dado por:


Onde  fc é a frequencia de corte calculada por:



A relação entre a fase de Vs e a fase de Ve varia com a frequencia sendo dada pela curva de resposta da fase do ganho, Figura 9.

Significa que na frequencia de corte, a fase do ganho é 45 Graus, isto é, se a fase do sinal de  entrada é 0 Graus a fase da saida será -45 Graus. A Figura 9 mostra o grafico  da fase do ganho do circuito da Figura 8.


Figura 9 - curva de resposta em frequencias da fase do ganho

Na Figura 9 observe que a medida que a frequencia de aproxima de zero (CC) a fase do ganho tende para 90 graus, isto é, o circuito  se comporta como  se fosse praticamente capacitivo (Xc>>>>R). Ao contrario, se a frequencia aumentar muito Xc<<R, tudo se passa como se o capacitor se comporte como um curto circuito, e toda a tensão de entrada aparece na saida.


3.2. Exercicio resolvido
Para o circuito determinar:
a) frequencia de corte  
b) valor da saida (Vs) na frequencia de 5 kHz  se Ve=10 V  
c)  Para que frequencia  a saida é 0,5 V.


Solução: a) fc=1/(2..1k.10nF)=15.915 Hz   confira o valor em  Calculando com Circuitos Eletricos

b) Usando a expressão do ganho:

Logo o valor da saida será igual a: Vs=Av.Ve= 0,3.10V=3 V

Um caminho alternativo é calcular  a impedancia Z.

Xc=1/(2.p.f.C)=1/(2.p.5kHz.10nF)=3.183 W



Logo o valor da corrente será:

I=10V/3,33k =3 mA   e o valor da tensão em R que é a tensão de saida será igual a Vs=1k.3mA = 3 V e o valor do ganho AV=Vs/Ve = 3 V/10 V= 0,3.

c)  Vs=0,5 V significa um ganho de Av=0,5V/10V =0,05  voce deve entrar com esse valor na expressão AVxf e determinar f.


Dica: Eleve ao quadrado dos dois lados da igualdade eliminando a raiz

O resultado é f=800 Hz

Obs: Faça o caminho contrario, isto é, entre com 0,8 kHz na expressão do ganho para determinar o ganho. Voce deve determinar 0,05.

Poderia tambem determinar graficamente. Primeiro determinando o ganho em dB. Se voce tiver o grafico (pode obter no Multisim usando o instrumento chamado Bode Plotter). Entre com o ganho, Av(dB)=20.log0,05 = -26dB, e leia  a frequencia, Figura 10. O problema é que a escala de frequencia é LOGARITMICA, se a frequencia não for um multiplo inteiro de 10 é dificil obter precisão.


Figura 10 - Curva de resposta em frequencia do circuito da Figura 8

4. Experiencia: Filtro Passa Altas
4.1. Abra o arquivo ExpCA14_Filtro_Passa_Altas  e identifique o circuito da Figura 11. Inicie a simulação, e para cada frequencia da tabela 1, meça o valor da saida (Vs) anotando na tabela 1.
Tabela 1 - FPA - curva de resposta em frequencia
f(Hz)1005001k5k10k13k15k18k20k30k
Vs/Ve










20.logVs/Ve

4.2. Com os dados da tabela 1 desenhe o grafico do ganho em dB em função da frequencia e para isso use papel monolog.
4.3. A partir do grafico obtenha a frequencia de corte (frequencia na qual o ganho vale -3dB).
4.4. escreva as suas conclusões.

5. Experiencia: O Decibel
5.1.  Abra o arquivo ExpCA15_O_decibel e identifique o circuito da Figura 11. Calcule o ganho (VL/Ve) e o ganho em dB (20.logVL/Ve) e anote na tabela 2
5.2. Inicie a simulação. Para cada caso abra o Decibelimetro e em Set... (Settings) ajuste dB relative value para 1 V Ve).

Figura 11 - Medindo o ganho em dB quando há atenuação
Tabela 2 - Ganho calculado e medido
CalculadoMedido
VL/Ve20.log(VL/Ve)
VL/Ve
20.log(VL/Ve)



5.3.  Abra o arquivo ExpCA15_O_decibel e identifique o circuito da Figura 12. Calcule o ganho (VL/Ve) e o ganho em dB (20.logVL/Ve) e anote na tabela 3
5.4. Inicie a simulação. Para cada caso abra o Decibelimetro e em Set... (Settings) ajuste dB relative value para 1 V Ve).

Figura 12 - Medindo o ganho em dB quando há amplificação

Tabela 3 - Ganho calculado e medido
CalculadoMedido
VL/Ve20.log(VL/Ve)
VL/Ve
20.log(VL/Ve)



5.5.  Abra o arquivo ExpCA15_O_decibel e identifique o circuito da Figura 13. Calcule o ganho (VL/Ve) e o ganho em dB (20.logVL/Ve) e anote na tabela 4
5.6. Inicie a simulação. Para cada caso abra o Decibelimetro e em Set... (Settings) ajuste dB relative value para 1 V Ve).

Figura 13 - Medindo o ganho em dB quando a saida é igual a entrada (Buffer)

Tabela 4 - Ganho calculado e medido
CalculadoMedido
VL/Ve20.log(VL/Ve)
VL/Ve
20.log(VL/Ve)



5.7. Escreva as suas conclusões
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